Question

已知△ABC中，满足，b=4，则a+c=    ．

Answer

作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OA、OB、OC平分△ABC的三个内角．根据正切函数的定义及已知条件，可得BD=1，然后根据切线长定理即可求出a+c的值．
【解析】
如图，作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
则tan=，tan=，tan=．
∵，
∴+=，
∴AF+CF=4BD，即AC=4BD，
又∵b=AC=4，
∴BD=1，
∴BE=BD=1，
∴a+c=（BE+CE）+（BD+AD）=（CE+AD）+（BE+BD）=b+2BD=6．
故答案为6．