Question

某厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有几种方案请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x．试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案获总利润最大，最大利润是多少？

Answer

（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为（50-x）件，那么根据每种产品需要的原料数量可列不等式组进行解答，求出范围，从而得出生产方案；
（2）在（1）的基础上，根据每种产品的获利情况，列解析式，根据（1）中x的取值范围求出最值即可．
【解析】
（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为（50-x）件，根据题意，得

解得30≤x≤32．因为x是自然数，所以x只能取30，31，32．
所以按要求可设计出三种生产方案：
方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；
方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；
方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；

（2）设生产A种产品x件，则生产B种产品（50-x）件，由题意，得
y=700x+1200（50-x）=-500x+60000
因为a＜0，由一次函数的性质知，y随x的增大而减小．
因此，在30≤x≤32的范围内，
因为x=30时在的范围内，
所以当x=30时，y取最大值，且y最大值=45000．