Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．
（1）求证：△AOC≌△AOD；
（2）若BE=1，BD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．

Answer

（1）要求证△AOC≌△AOD，已经满足的条件是OC=OD，AO=AO，根据HL定理就可以证出结论．
（2）求中阴影部分的面积，可以转化为△ABC的面积减去半圆的面积．
（1）证明：∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
在Rt△AOC和Rt△AOD中，

∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）．

（2）【解析】
设半径为r，在Rt△ODB中，
r2+32=（r+1）2，解得r=4；
由（1）有AC=AD，AB=AD+DB=AC+DB=AC+3，BC=BE+2r=1+8=9，
在直角三角形ABC中，
根据勾股定理得：AC2+92=（AC+3）2，解得AC=12，
∴S=AC•BC-πr2=×12×9-π×42=54-8π．