Question

如图所示，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点A在x轴的正方向上，将△OAB折叠，使点B落在边OA上，记为B′，折痕为EF．
（1）设OB′的长为x，△OB′E的周长为c，求c关于x的函数关系式；
（2）当B′E∥y轴时，求点B′和点E的坐标；
（3）当B′在OA上运动但不与O、A重合时，能否使△EB′F成为直角三角形？若能，请求出点B′的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）根据折叠的性质可知BE=B′E，那么三角形OB′E的周长就等于OB′+OB，已知等边三角形OBA的边长，那么就可以表示出c与x的函数关系式了．
（2）当B′E∥y轴时，EB′⊥x轴，那么本题的关键就是求出直角三角形OB′E的两条直角边，可根据OE+EB′=2+，而我们还可以通过∠EOB′的正弦函数得出OE，EB′的比例关系，然后根据这两个关系可得出OE，B′E的长，进而可求出OB′的长．也就得出了点B′和E点的坐标．
（3）要想使三角形EB′F是直角三角形，已知∠EB′F=60°，那么只有∠B′EF和∠B′FE为直角，当∠B′EF是直角时，那么∠AEF也是直角，那么A，E，B′在一条直线上，B′与O重合，那么与已知矛盾，因此不成立，同理可得出∠B′FE是直角的情况下也不成立，因此三角形EB′F不可能是直角三角形．
【解析】
（1）∵B′和B关于EF对称，
∴B′E=BE，
∴c=OB′+B′E+OE=OB′+BE+OE=x+OB=．

（2）当B′E∥y轴时，∠EB′O=90°．
∵△OAB为等边三角形，
∴∠EOB′=60°，OB′=EO．
设OB′=a，则OE=2a．
在Rt△OEB′中，tan∠EOB′=，
∴B′E=B′Otan∠EOB′=；
∵B′E+OE=BE+OE=2+，
∴a=1，
∴B′（1，0），E（1，）．

（3）答：不能．
理由如下：
∵∠EB′F=∠B=60°，
∴要使△EB′F成为直角三角形，则90°角只能是∠B′EF或∠B′FE．
假设∠B′EF=90°，
∵△FB′E与△FBE关于FE对称，
∴∠BEF=∠B′EF=90°，
∴∠BEB′=180°，
则B′、E、B三点在同一直线上，B′与O重合．
这与题设矛盾．
∴∠B′EF≠90°．
即△EB′F不能为直角三角形．
同理，∠B′FE=90°也不成立．
∴△EB′F不能成为直角三角形．