Question

先阅读理解两条正确结论，并用这两条结论完成应用与探究．阅读：
正确结论1．在图甲△ABC中，如果D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，那么E也是AC的中点，及DE是中位线．
正确结论2．在图乙梯形ABCD中，如果E为腰AB的中点且EF∥AD∥BC．那么F也是CD的中点，及EF是中位线．
应用：如图丙，已知，MN是平行四边形ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．求证：AA′+CC′=BB′+DD′．
探究：如图丁，若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧，则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明．

Answer

首先根据题目提供的正确的结论得到正确的信息，然后根据加工的正确的信息进行应用及探究的证明．
证明图丙：连接AC，BD交于O，过O作OOˊ⊥MN垂足为Oˊ…（1分）
由正确结论1知OOˊ同为梯形BBˊDˊD与梯形AAˊCˊC的中位线
得AA′+CC′=BB′+DD′…（4分）

图丁有关系：AA′=BB′+CC′+DD′…（5分）
证明：连接AC，BD交于O，过O作OOˊ⊥MN垂足为Oˊ，延长OOˊ交AˊC于Oˊˊ
由正确结论1知OOˊ为梯形BBˊDˊD的中位线…（6分）
得2 OOˊ=BB′+DD′…（7分）
由正确结论2知OOˊˊ为△AA′C的中位线
得AA′=2 OOˊˊ    …（8分）
OˊOˊˊ又为△A′CC′的中位线
得CC′=2 OˊOˊˊ  …（9分）
∴AA′=2 OOˊˊ=2 OOˊ+2 OˊOˊˊ=BB′+DD′+CC′（10分）