Question

（1）在同一个圆中，两条弦相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？请利用左图试着证明．
（2）利用（1）的结论，解决右图问题：AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10，PA=4，OP=5，求⊙O的半径R．

Answer

（1）连AC，BD，根据圆周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性质得AE：DE=CE：BE，变形有AE•BE=CE•DE；由此得到相交弦定理；
（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值．
【解析】
（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知，如图，⊙O的两弦AB、CD相交于E，
求证：AE•BE=CE•DE．
证明如下：
连AC，BD，如图，
∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△AEC∽△DEB，
∴AE：DE=CE：BE，
∴AE•BE=CE•DE；
所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

（2）过P作直径CD，如图，
∵AB=10，PA=4，OP=5，
∴PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，
由（1）中结论得，PA•PB=PC•PD，
∴4×6=（R-5）×（R+5），
解得R=7（R=-7舍去）．
所以⊙O的半径R=7．