Question

如图1，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．
（1）求PA的长；
（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由；
（3）如图2，过点C作CD⊥AE，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使D点在⊙A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R的变化范围．

Answer

（1）根据已知，可判定△APE∽△CPB，从而得到相似比为PA：PC=AE：BC=3：1；
（2）BE与⊙A相切，通过已知，可求得∠ABE=60°，从而可得到∠APB=90°，即BE与⊙A相切；
（3）已知AD=5，AB=5，所以r的变化范围为5＜r＜5．因为没有说明两圆是内切还是外切，所以分两种情况进行分析．
【解析】
（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5，
∴AC=2BC=10；
∵AE∥BC，
∴△APE∽△CPB，
∴PA：PC=AE：BC=3：1，
∴PA：AC=3：4，PA=．

（2）BE与⊙A相切；
∵在Rt△ABE中，AB=5，AE=15，
∴tan∠ABE=，
∴∠ABE=60°；
又∵∠PAB=30°，
∴∠ABE+∠PAB=90°，
∴∠APB=90°，
∴BE⊥AP
∴BE与⊙A相切；

（3）因为AD=5，AB=5，所以r的变化范围为5＜r＜5；
当⊙A与⊙C外切时，R+r=10，所以R的变化范围为10-＜R＜5；
当⊙A与⊙C内切时，R-r=10，所以R的变化范围为15＜R＜10+5．