Question

如图，在平面直角坐标系中，过A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线交y轴于点C，其顶点为点D，设△ACD的面积为S₁，△ABC的面积为S₂．小芳经探究发现：S₁：S₂是一个定值．则这个定值为    ．

Answer

设二次函数的解析式是y=a（x+1）（x-3），即y=ax2-2ax-3a，即可求得C的坐标，表示出S2的值，然后利用待定系数法求得AD的解析式，进而求得E的值，得到CE的长，根据三角形面积公式即可求得S1，进而求解．
【解析】
设二次函数的解析式是y=a（x+1）（x-3），即y=ax2-2ax-3a．
令x=0，解得：y=-3a，则OC=3a．
∴S2=AB•OC=×4•3a=6a；
∵D是抛物线的顶点．
∴D的横坐标是：（-1+3）=1，把x=1代入二次函数解析式得：y=-4a，则D的坐标是（1，-4a）．
设直线AD的解析式是y=kx+b．
根据题意得：
解得：k=b=-2a
则直线AD的解析式是：y=-2ax-2a．
在y=-2ax-2a中，令x=0，解得：y=-2a．
则CE=3a-2a=a．
∴S1=S△ACE+S△CDE=CE×a+CE×a=a．
∴S1：S2=a：6a=．
故答案是：．