Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=6，OC=4，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处．
（1）试判断四边形ABED的形状，并说明理由；
（2）若点F是AB的中点，设顶点为E的抛物线的右侧部分交x轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式．

Answer

（1）∠BAE=90°，由折叠的性质可知∠ABD=∠EBD，得∠ABD=∠EBD=45°，可判断四边形ABED为正方形；
（2）连接EF，EO，通过计算可证△BEF≌△DEO，得出EF=EO，EF⊥EO，根据EF为腰和底两种情况，求抛物线解析式．
【解析】
（1）四边形ABED为正方形．
理由：由折叠的性质可知∠ABD=∠EBD，BA=BE，
又∵∠ABE=90°，
∴∠ABD=∠EBD=∠ADB=∠ABD=45°，
∴四边形ABED为正方形；

（2）连接EF，EO，依题意得顶点E（-4，2），
设抛物线解析式为y=a（x+4）2+2，
∵DO=AO-AD=OA-OC=2，BF=AB=2，BE=DE，
∴△BEF≌△DEO，
∴EF=EO，EF⊥EO，
当EF为腰时，点P与点O重合，将P（0，0）代入y=a（x+4）2+2中，得a=-，
∴y=-（x+4）2+2，
当EF为底时，点P在EF的中垂线上，
∵E（-4，2），
∴直线OE解析式为y=-x，
又∵EF⊥EO，线段EF的中点坐标为（-3，4），
∴EF的中垂线解析式为y=-x+，EF的中垂线与x轴交点P（5，0）
将P（5，0）代入y=a（x+4）2+2中，得a=-，
∴y=-（x+4）2+2，
∴抛物线解析式为y=-（x+4）2+2或y=-（x+4）2+2．