Question

阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题--如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B 的值最小．
解答问题：
（1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．
①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？
②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．

Answer

（1）延长AO交圆于M，连接CM交OB于P，连接AC，求出∠ACM、∠M，求出AC、根据勾股定理求出PM即可；
（2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；
②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（，0）以及到B的解析式．
【解析】
（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，
则此时AP+PC=PC+PM=CM最小，
∵AM是直径，∠AOC=60°，
∴∠ACM=90°，∠AMC=30°，
∴AC=AM=2，AM=4，由勾股定理得：CM==2．
答：PA+PC的最小值是2．

（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，
即为使点P能在最短的时间内到达点B处，
∴当PB⊥AB时，符合题意，
∵菱形ABCD，AB=6，∠DAB=60°，
∴∠BAO=30°，AB=AD，AC⊥BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=6，BO=3，由勾股定理得：AO=3，
在Rt△APB中，AB=6，∠BAP=30°，BP=AP，由勾股定理得：AP=4，BP=2，
∴点M的位置是（，0）时，用时最少．
②当0＜t≤3时，AP=2t，
∵菱形ABCD，
∴∠OAB=30°，
∴OB=AB=3，
由勾股定理得：AO=CO=3，
∴S=AP×BO=×2t×3=3t；
③当3＜t≤4时，AP=6-（2t-6）=12-2t，
∴S=AP×BO=×（12-2t）×3=18-3t．
当4＜t≤6时，
S=AB×BP=×6×[2-（t-4）]=-3t+18，
答：S与t之间的函数关系式是当3＜t≤4时，S=18-3t；当0＜t≤3时，S=3t．
当4＜t≤6时，S=-3t+18．