Question

如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S₁，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S₂，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S_n．
（1）求出S₁、S₂、S₃、S₄．
（2）总结出S_n与S_n-1的关系，并猜想出S_n与n的关系．

Answer

（1）根据正方形边长相等和等腰直角三角形中腰长为斜边长的 求解；
（2）观察图形，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据其规律解题即可．
【解析】
下一个正方形面积为上一个正方形面积的，下一个等腰直角三角形面积为上一个等腰直角三角形面积的，
（1）S1=1×1+×=，
∴S2=+=，
S3=，
S4=．

（2）根据（1）的求解，总结规律：Sn=Sn-1，
可以发现：
第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（）1=，
第3个正方形的边长为（）2=，
…，
第n个正方形的边长为（）（n-1）
∴第n个正方形的面积=[（ ）2]n-1=，
则第n个等腰直角三角形的面积为：×=，
故Sn与n的关系为：Sn=+．