Question

如图，抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过原点和点A（4，0），顶点在直线上，P为抛物线上的一个动点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当△POA面积为5时，求点P坐标；
（3）当点P在x轴上方时，若cos∠OPA=，⊙M经过点O，A，P，求过A点且与⊙M相切的直线解析式．

Answer

（1）由对称性可知，抛物线的对称轴为直线x=2，又顶点在直线上，即可即可求出顶点坐标，代入即可求出抛物线的解析式；
（2）根据△POA面积为5，可先求出点P的纵坐标，代入函数解析式即可求出点P的横坐标；
（3）连接MO、MA，过点M作MC⊥OA于C，设过点A的切线与y轴交于点D，可证∠OPA=∠AMC，继而求出MC的长，再通过证明△AMC≌△DAO，得OD=AC，即可求出点D的坐标，从而求出AD的解析式．
【解析】
（1）由对称性可知，抛物线的对称轴为直线x=2，
在中，当x=2时，y=-2，
∴顶点坐标为（2，-2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-2，
把O（0，0）代入解得，∴，
即；
（2）∵，
∴，
又∵yP≥2，∴，
在中，当时，，
解得，x1=-1，x2=5，
∴或；

（3）如图，连接MO、MA，过点M作MC⊥OA于C，设过点A的切线与y轴交于点D，
可证∠OPA=∠AMC，
∴，
∵MC⊥OA，
∴，
由勾股定理可得MC=4，
∵AD是⊙M的切线，∴AD⊥AM，
∴△AMC≌△DAO，
∴OD=AC=2，D（0，-2），
可求得直线AD的解析式为．