Question

如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

Answer

（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四边形ABCD是正方形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC（三线合一），又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BE，
∴∠AOE=90°，即△AOE是直角三角形，
∴∠AED+∠EAO=90°
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO=60°，
∴∠AED=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°，
∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°
∵四边形ABCD是菱形．
∴∠BAD=2∠DAO=90°
∴平行四边形ABCD是正方形．