Question

已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．OB=，tan∠DOB=．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A的横坐标为m，求m的取值范围．

Answer

（1）过点B作BH⊥x轴于点H，根据勾股定理求出B的坐标，设反正比例函数的解析式为（k≠0），把B的坐标代入求出即可；
（2）设直线AB的解析式为y=k2x+b（k≠0），把A、B的坐标代入得到方程组，求出方程组的解，根据已知得到m＞0，b=＞0，求出不等式的解集即可．
【解析】
（1）过点B作BH⊥x轴于点H，
在Rt△OHB中，HO=3BH，
由勾股定理，得  BH2+HO2=OB2，
又∵OB=，
∴BH2+（3BH）2=（）2，
∵BH＞0，
∴BH=1，HO=3，
∴点B（-3，-1），
设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵点B在反比例函数的图象上，代入得：k1=3，
∴反比例函数的解析式为．
答：反比例函数的解析式为．

（2）设直线AB的解析式为y=k2x+b（k≠0）．
由点A在第一象限，得m＞0，
又由点A 在函数的图象上，可求得点A的纵坐标为，
∵点B（-3，-1），点A（m，），
∴
解关于k2、b的方程组，得，
∴直线AB的解析式为 ，
由已知，直线经过第一、二、三象限，
∴b＞0时，即 ，
∵m＞0，
∴3-m＞0，
由此得 0＜m＜3．
答：m的取值范围是0＜m＜3．