Question

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标．
（2）若点P关于x轴的对称点为P′，试求经过M、N、P′三点的抛物线的解析式．
（3）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．
（4）若在直线上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．

Answer

（1）作出作PK⊥MN于K，利用等腰三角形的性质得出KO的长，即可出P点的坐标；
（2）利用关于x轴对称的性质得出P′点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式即可；
（3）分别利用当0＜b≤2时，当2＜b≤3时以及当3＜b＜4时和当b≥4时结合图象求出即可；
（4）以OM为直径作圆，当直线与此圆相切时，得出即可．
【解析】
（1）作PK⊥MN于K，则．
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）∵点P关于x轴的对称点为P′，
∴P′点的坐标为：（6，-2），
∵M（4，0），N（8，0），
∴代入二次函数解析式得出：y=a（x-4）（x-8），
∴-2=a（6-4）（6-8），
∴a=，
∴经过M、N、P′三点的抛物线的解析式为：y=（x-4）（x-8）；

（3）当0＜b≤2时，如图，S=0．

当2＜b≤3时，如图，

设AC交PM于H．AM=HA=2b-4．
∴．
即S=2（b-2）2或S=2b2-8b+8．
当3＜b＜4时，如图，

设AC交PN于H．NA=HA=8-2b．
∴S=-2（4-b）2+4或S=-2b2+16b-28．
当b≥4时，如图，

S=4．

（4）．（提示：以OM为直径作圆，当直线与此圆相切时，．）