Question

已知一直角梯形的上底长为3，下底长为7，且两条对角线长都是整数，则该直角梯形的面积是    ．

Answer

已知是直角梯形，可知上底和下底分别是两个直角三角形的两个直角边．设两条对角线分别为x和y，直角梯形的高为h．根据勾股定理：①32+h2=x2；②72+h2=y2，从上述二式得出x和y的关系，（x+y）（y-x）=40．由于x和y二者是整数，可知x+y和y-x都是整数．又由于40=1×40=2×20=4×10=5×8，y＞7，因此x=9，y=11，从而求解．
【解析】
设两条对角线分别为x和y，直角梯形的高为h．
根据勾股定理：①32+h2=x2；②72+h2=y2，
②-①，得（x+y）（y-x）=40．
又x和y二者是整数，y＞7，
所以x=9，y=11，
则h=6，
则梯形的面积是（3+7）×6=30．
故答案为30．