Question

在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的．
（Ⅰ）当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于    ；
（Ⅱ）有如下结论（不在“CD等于a”的限制条件下）：①AC边的长可以等于a；②折叠前的△ABC的面积可以等于 ；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其中，    结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．

Answer

（Ⅰ）由于△ABC中AB边的中线CD等于AB的一半，所以△ABC是直角三角形，易求△ABC的面积，根据重叠部分的面积等于折叠前△ABC的面积的，即可得出重叠部分的面积；
（Ⅱ）①假设AC=a成立，根据等腰三角形的性质及图形折叠的性质可求出四边形AB1DC为平行四边形，再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解；
②假设S△ABC=成立，再由△ABC的面积公式可求出AC=a，根据三角形的三边关系可求出∠B=60°，由平行四边形的判定定理可求出四边形AB2CD为平行四边形，再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解；
③综合①②可知，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．
【解析】
（Ⅰ）如右图，∵CD=AD=a，
∴∠DCA=∠A=30°，
∴∠CDB=∠DCA+∠A=60°，
又∵CD=BD=a，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACB=∠DCA+∠BCD=90°．
在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=2a，
∴BC=a，AC=a，
∴S△ABC=BC•AC=a2，
又∵重叠部分的面积等于折叠前△ABC的面积的，
∴重叠部分的面积=a2；

（Ⅱ）对于结论①，若AC=a成立，如图（一），在△ACD中，由∠CAD=30°，AD=a，
∴∠ADC=（180°-∠CAD）=75°，∠CDB=180°-∠ADC=105°，
∵∠CDB1=∠CDB，
∴∠B1DA=105°-75°=30°，
∴AC∥B1D，
∵B1D=BD=a=AC，
∴四边形AB1DC为平行四边形．
∴S△CED=S△ACD=S△ABC，满足条件，即AC的长可以等于a，故①正确；
对于结论②，若S△ABC=，
∵S△ABC=AB•AC•sin∠CAB，
∴AC=a，
∵AC=a，∠B=60°，如图（二），
∴∠CDB=60°=∠DCB2，
∴AD∥B2C，
又∵B2C=BC=a=AD，
∴四边形AB2CD为平行四边形，
∴S△CFD=S△ACD=S△ABC，满足条件，
即S△ABC的值可以等于，故②正确；
对于结论③，由平行四边形AB1DC或平行四边形AB2CD，显然成立，故③正确．
故答案为 ；①②③．