Question

如图，已知二次函数y=x²+4的顶点为B，与x轴交于点A和点C（A点在C点的右侧），以A为圆心，AB长为半径的⊙A交x轴于点D和点E（E点在D点左侧）
（1）求点D、E的坐标；
（2）点F（a，0）为x轴上一个动点（F点与D点不重合），求△DBF的面积S与a的函数关系式，并求当S_△DBF=6时，点F的坐标；
（3）当点H为x轴上一点（与E点不重合），若△BOH与△BOE相似，求符合条件的H点的坐标．

Answer

（1）先根据二次函数解析式求出点A、B的坐标，再利用勾股定理求出AB的长度，然后根据点A的坐标与圆的半径即可求解点D、E的坐标；
（2）分①点F在点D的左边，②点F在点D的右边，两种情况分别求出DF的长度，然后利用三角形的面积公式列式求解即可，把面积为6代入关系式求出a的值即可得到点F的坐标；
（3）分①△BOE的边OE与△BOH的边OB是对应边，②△BOE的边OE与△BOH的边OH是对应边，两种情况求出OH的长，然后再根据点H在原点左边与右边两种情况分别求出点H的坐标．
【解析】
（1）当y=0时，x2+4=0，
解得x=3或x=-3（点A在x轴正半轴，舍去），
当x=0时，y=0+4=4，
∴点A、B的坐标分别为A（3，0），B（0，4），
根据勾股定理，AB===5，
3+5=8，3-5=-2，
∴点D、E的坐标分别为D（8，0），E（-2，0）；

（2）①点F在点D的左边时（a＜8），DF=8-a，
∴S=DF•OB=（8-a）×4=-2a+16，
②点F在点D的右边时（a＞8），DF=a-8，
∴S=DF•OB=（a-8）×4=2a-16，
当S△DBF=6时，-2a+16=6，解得a=5，
或2a-16=6，解得a=11，
∴点F的坐标是（5，0）或（11，0），
∴S与a的函数关系式为：S=-2a+16或S=2a-16；点F的坐标是（5，0）或（11，0）；

（3）根据（1）的结论，OE=2，OB=4，
∴①△BOE的边OE与△BOH的边OB是对应边时，
=，
即=，
解得OH=8，
②△BOE的边OE与△BOH的边OH是对应边时，
=，
即=，
解得OH=2，
∵点H与E点不重合，
∴点H的坐标是（8，0）或（-8，0）或（2，0）．