Question

如图，⊙M与y轴的正半轴相切于点C，与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₂＞x₁＞0，抛物线y=（x²-5x+2m）经过A、B、C三点．
（1）求m的值；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）在图中的曲线上是否存在点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△COA相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点M作x轴的垂线，垂足为点D，在直角三角形AMD中用勾股定理计算求出m的值．
（2）利用（1）中求出的m的值，得到点A，B，M的坐标，求出线段AB，MD，AM的长，然后在△ABM中，用面积法求出sin∠AMB的值．
（3）分别过A，C两点作AC的垂线，与抛物线交于点P1和点P2，因为△AOC中，OA=1，OC=2，所以当△PAC中，满足两直角边的比是1：2时，点P就存在，否则，就不存在．
【解析】
（1）如图：过点M作MD⊥AB于点D，
当x=0时，y=m，∴C（0，m）
当y=0时，有x2-x+m=0
∴x1+x2=5，x1x2=2m，
AD=AB=（x2-x1）=
=．
∵⊙M与y轴相切于点C，
∵AB=0B-OA=x2-x1，
∴OD=AD+OA=AB+OA=+x1=（x1+x2），
∴CM=AM=OD=（x1+x2）=．
DM=OC=m，
在直角三角形AMD中，
AM2=AD2+MD2，
即：=+m2，
解得：m1=0，m2=2．
∵m＞0，
∴m=2．

（2）∵m=2，
∴y=x2-x+2
∴C（0，2）
当y=0时，x2-x+2=0
解得：x1=1，x2=4，
∴A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，AD=，AM=，MD=2
∵S△ABM=AB•MD=AM•BM•sin∠AMB，
∴×3×2=×××sin∠AMB，
∴sin∠AMB=．

（3）如图：
分别过点A，C作AC的垂线交抛物线于P1和P2，
∵A（1，0），C（0，2），AC=
∴AC：y=-2x+2
AP1：y=x-，
AP2：y=x+2，
由得：p1（5，2），AP1=2，
∵===，
∴△P1AC∽△COA．
由得：P2（6，5），CP2=3，
∵==≠，
∴△P2AC与△AOC不相似．
因此，存在点P（5，2）．