Question

AE是△ABC的角平分线，D是AB上一点，∠ACD=∠B，CD和AE交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连接EG．
（1）判断四边形CEGF是什么四边形，说明理由；
（2）如果△ABC和△GEB相似，且相似比是2：1，求△ABC和四边形CEGF的面积的比．

Answer

（1）通过求证△AFC和△AFG，推出∠CFE=∠GFE，CF=GF，再通过求证△CFE≌△GFE，推出∠FCE=∠FGE，∠CFG=∠CEG，依据平行四边形的判定定理即可得四边形CFGE为平行四边形，由CF=FG，即可推出四边形CEGF为菱形．
（2）作GH⊥BC于点H，即可推出S△GEB和S菱形CFGE，再通过△ABC和△GEB的相似比推出其面积比，CE：GB=1：2，即可得S△ABC=4S△GEB=4•BE•GH•=2BE•GH，然后，即可推出△ABC和菱形CEGF的面积的比为10：3．
（1）四边形CEGF为菱形．
证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠GAF，
∵FG∥BC，
∴∠B=∠AGF，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACF=∠AGF，
∴在△AFC和△AFG中，
，
∴△AFC≌△AFG（AAS），
∴CF=GF，∠CFA=∠GFA，
∴∠CFE=∠GFE，
∵在△CFE和△GFE中，
，
∴△CFE≌△GFE（SAS），
∴∠FCE=∠FGE，∠CFE=∠GFE，∠CEF=∠GEF，
∴∠CFG=∠CEG，
∴四边形CFGE为平行四边形，
∵CF=FG，
∴四边形CEGF为菱形．

（2）【解析】
作GH⊥BC于点H，
∴S△GEB=BE•GH•，S菱形CFGE=CE•GH，
∵△ABC∽△GEB，且相似比为2：1，
∴BE：AB=1：2，
∴S△ABC：S△GEB=4：1，
∴S△ABC=4S△GEB=4•BE•GH•=2BE•GH，
设BE=a，CE=EG=b，则a＞b，
∵△ABC和△GEB相似，且相似比是2：1，
∴===，
∴AB=2a，AC=2b=AG，BC=BE+EC=a+b，
∴BG=2a-2b，
∴=
∴5b-3a=0，即a=b，即BE=b，
∴====
∴△ABC和四边形CEGF的面积的比为10：3．