Question

如图，已知点M，N的坐标分别是M （0，-4），N（4，-4），点A是线段MN上一动点，以A为顶点的抛物线y=a（x-h）²+k和y轴交于点E，和直线x=4交于点F，和直线x=2交于点C，这里a＞0，且a为常数．直线EF和抛物线的对称轴交于点B，和直线x=2交于点D．
（1）写出k的值；
（2）求直线EF的函数表达式（表达式中可以含有a，h）；
（3）比较线段BA和CD的长短．

Answer

（1）由点M，N的坐标分别是M （0，-4），N（4，-4），即可求得直线MN的解析式，则可求得抛物线顶点A的纵坐标，又由抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，即可求得k的值；
（2）由（1）求得抛物线的解析式，又由抛物线y=a（x-h）2+k和y轴交于点E，和直线x=4交于点F，即可求得点E与F的坐标，然后设直线EF的解析式为：y=kx+b，由待定系数法即可求得直线EF的函数表达式；
（3）由物线y=a（x-h）2+k和直线x=2交于点C，即可求得点C的坐标，由直线EF和抛物线的对称轴交于点B，和直线x=2交于点D，即可求得点B与D的坐标，继而求得AB与CD的长，再作差，由完全平方式的非负性，即可求得线段BA和CD的长短关系．
【解析】
（1）∵点M，N的坐标分别是M （0，-4），N（4，-4），
∴直线MN的解析式为：y=-4，
∴点A的纵坐标为-4，
∵抛物线y=a（x-h）2+k的顶点为A，
∴k=-4；

（2）∴抛物线的解析式为：y=a（x-h）2-4，
∵抛物线y=a（x-h）2-4和y轴交于点E，和直线x=4交于点F，
∴点E的坐标为（0，ah2-4），点F的坐标为（4，a（4-h）2-4），
设直线EF的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EF的函数表达式为：y=（4a-2ah）x+ah2-4；

（3）∵抛物线与直线x=2交于点C，
∴点C的坐标为（2，a（2-h）2-4），
∵直线EF和抛物线的对称轴交于点B，和直线x=2交于点D，
∴点B的坐标为（h，4ah-ah2-4），点D的坐标为（2，8a-4ah+ah2-4），
∴BA=4ah-ah2，CD=8a-4ah+ah2-4-[a（2-h）2-4]=4a，
∴CD-BA=4a-（4ah-ah2）=a（h2-4h+4）=a（h-2）2≥0，
∴BA≤CD．