Question

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，CB=6cm．点Q、P分别是AB、CD边上的动点，点P从C点出发，以0.5cm/s的速度向D点移动；点Q从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动；设Q、P同时出发，移动时间为t（s），当一个点停止移动，另一个也随之停止移动．
（1）求CD的长；
（2）t为何值时，四边形AQPD是等腰梯形？
（3）连接PQ，设PQ与AC的交点为O，求△AOQ的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数关系；
（4）过Q点作QE⊥AD于E，问是否存在某一时刻t，使得四边形AQPD是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）易证△ADC是等腰三角形，作DM⊥AB，在直角△ADM中，即可根据三角函数求得AD的长，作DF⊥AC于F，则CF的长即可求得，进而求得CD的长；
（2）设四边形AQPD为等腰梯形，作PN⊥AB于N，作DM⊥AB于M．则当AQ=AM+AM+PD时，四边形是等腰梯形，即可求得t的值；
（3）根据△AOQ∽△COP，相似三角形的对应边的比相等，即可求得AO的长，根据三角函数即可求得OR的长度，根据三角形的面积公式即可求解；
（4）当PQ∥AD，即PD=AQ时，PD=AD，则四边形是菱形，据此即可得到关于时间t的方程，从而求解．
【解析】
（1）在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴AC=12cm，
作PN⊥AB，△DAC是等腰三角形，且∠DCA=30°．
作DF⊥AC于F，则CF=AC=6cm．
∴CD==4cm．

（2）设四边形AQPD为等腰梯形，作PN⊥AB于N．作DM⊥AB于M．
则AM=QN=AD=2cm．
又∵PD=MN=4-0.5t，AQ=t，
∴2+2+（4-0.5t）=t，
解得：t=；

（3）∵△AOQ∽△COP，
∴===，
又∵AC=12，
∴AO=8
作OR⊥AB于R，则OR=AO×sin30°=4，
∴s=×AQ×OR=×t×4=2t；

（4）当PQ∥AD，即PD=AQ时，且DP=AD．
由4-0.5t=t，得：t=．
而AD===4，
故t不存在．