Question

如图，四边形OBCD为平行四边形，OD=2，∠DOB=60°，以OD为直径的⊙P经过点B，N为BC上任意一点（与B、C不重合），过N作直线MN⊥x轴，垂足为A，MN交DC于M，设OA=t，OMN的面积为S．
（1）求出D、B、C点的坐标和过B、C两点的一次函数的解析式．
（2）求S与t之间的函数关系式及t的范围．
（3）当S=时，试判定直线MN与⊙P的位置关系．

Answer

（1）利用圆内接三角形的性质得出∠DBO=90°，从而求出D的坐标，根据四边形OBCD为平行四边形推得B、C点的坐标；
（2）根据ODBC是平行四边形，且MN⊥x轴于A，然后在Rt△BAN中，利用三角函数求出AN=tan∠CBA×BA=3（t-1），再根据点N为BC边上任意一点与点B、C不重合，求出t的范围．
（3）运用圆与直线的线切知识，根据经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线求出直线MN与⊙P的关系．
 【解析】
（1）由于⊙OP过点B，OD是圆的直径，所以∠DBO=90°
在Rt△OBD中，OB=OD×cos∠DOB=2×12=1；DB=OD×sin∠DOB=2×32=3
所以点D的坐标为：D（1，3）；则B点坐标为（1，0）；C点坐标为（2，3）．
如图所示：连接DB，BP，
由于ODBC是平行四边形，且MN⊥x轴于A
所以AM=BD=3，∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中，AN=tan∠CBA×BA=3（t-1）
所以MN=AM-AN=3（2-t）
即：△OMN的面积为s=12×MN×OA=12×3（2-t）t=32t（2-t）

（2）由于ODBC是平行四边形，且MN⊥x轴于A
所以AM=BD=3，∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中，AN=tan∠CBA×BA=3（t-1）
所以MN=AM-AN=3（2-t）
即：△OMN的面积为s=12×MN×OA=12×3（2-t）t=32t（2-t）
又∵点N为BC边上任意一点与点B、C不重合
∴t的取值范围为：1＜t＜2；

（3）当s=32t（2-t）=338时，又1＜t＜2，所以t=32
圆心P到MN的距离等于 12（DM+OA）=12×（ 32-1+32）=1=12OD
所以此时直线MN与⊙P相切．