Question

某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元，为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放车辆次数与每辆小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此停放的小车可达1440车辆次，若停车费超过5元，则每超过1元，每天来此停放的小车就减少120辆次，为了便于结算，规定每辆小车的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入．（日净收入=每天共收停车费天-每天固定的支出）
（1）写出x与y的关系式．
（2）若要求日净收入不低于3550元，则每辆次小车的停车费应定在什么范围？
（3）该集团要求此停车场既要吸引顾客，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入，按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少元？

Answer

（1）根据“每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此停放的小车可达1440车辆次，若停车费超过5元，则每超过1元，每天来此停放的小车就减少120辆次”列出分段函数；
（2）令（1）中函数的y≥3550，解出不等式并取整即可得出答案；
（3）分两种情况讨论：①0≤x≤5时，函数为一次函数，根据一次函数的性质可得出一次函数的最大值；②为二次函数，配方后可求得二次函数最值．
【解析】
（1）；

（2）当0≤x≤5时，若y≥3550，则1440x-800≥3550，得，
∵x取整数，
∴4≤x≤5，
当5≤x≤17时，若y≥3550，得-120x2+2040x-800≥3550，
∵x取整数，
∴5≤x≤14，
综上所述，每辆次小车停车费应定在4至14元之间；

（3）当0≤x≤5时，y随x增大而增大，
∴x=5时，y最大=6400，
当5≤x≤17时，y=-120（x-8.5）2+7870，
∵x取整数，由抛物线对称性可知x=8或x=9时，y最大=7840，
∴小车每辆次停车费为8元时，日净收最大为7840元．