Question

求出满足方程x²+y²=2（x+y）+xy的所有正整数解．

Answer

首先将原方程可以变形为x2-（y+2）x+y2-2y=0，由于这个关于x的整系数一元二次方程有整数根，可得它的判别式是完全平方数，又由0≤16-3（y-2）2≤16，即可得16-3（y-2）2的值可能是0，1，4，9，16，然后代入求解即可求得答案．
【解析】
方法一：
原方程可以变形为x2-（y+2）x+y2-2y=0，（5分）
∵这个关于x的整系数一元二次方程有整数根，
∴它的判别式是完全平方数，
即△=（y+2）2-4（y2-2y）=-3y2+12y+4=16-3（y-2）2是完全平方数，（10分）
∵0≤16-3（y-2）2≤16，
∴16-3（y-2）2=0，1，4，9，16，
解得y=2，4，
于是可得，，．（14分）

方法二：x2-（y+2）x+y2-2y=0，（5分）
∵△=（y+2）2-4（y2-2y）=-3y2+12y+4=16-3（y-2）2≥0
∴（y-2）2≤＜9，
∴-3＜y-2＜3，
∴-1＜y＜5，
故y=1，2，3，4，（10分）
分别代入原方程可得，，．（14分）