Question

如图，抛物线y=-x²+px+q与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且∠ACB=90°，又tan∠CAO-tan∠CBO=2．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径长．

Answer

（1）设A、B两点横坐标分别为x1，x2，得到q=OA•OB，根据直角三角形的射影定理得出OC2=OA•OB，求出q=1，根据tan∠CAO-tan∠CBO=2得求出x1+x2=2=p即可；
（2）设M（x3，r），N（x4，r），推出MN=x4-x3，r=-x42+2x4+1，根据根与系数的关系得出x3+x4=2，x3•x4=r-1，根据以MN为直径的圆与x轴相切，得出方程，求出即可．
【解析】
（1）设A、B两点横坐标分别为x1，x2，则q=-x1x2=（-x1）x2=OA•OB，
由题意知，OC是Rt△ABC斜边AB上的高，由直角三角形中的射影定理得OC2=OA•OB，
故q2=q，
故q=1或q=0，
因此二次函数的图象不过原点，
故q=0舍去，取q=1，
由上知x1•x2=-1，C的纵坐标为1，
又由tan∠CAO-tan∠CBO=2得变形得，
亦即x1+x2=2，
∴p=2，
综合上述：二次函数的解析式为y=-x2+2x+1，
答：此二次函数的解析式为y=-x2+2x+1．

（2）设M（x3，r），N（x4，r），x3＜x4，
∴MN=x4-x3，
∴r=-x32+2x3+1r=-x42+2x4+1，
故x3，x4是方程-x2+2x-r+1=0的两根，
∴x3+x4=2，x3•x4=r-1，
∵以MN为直径的圆与x轴相切，
故，即，
两边平方得，
即，
解得r=1或r=2，
答：此圆的半径长是1或2．