Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．
（1）当AC=2时，求⊙O的半径；
（2）设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．

Answer

（1）连接OD，OE，由△ABC是直角三角形，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，可知OD∥BC，在△ADO中，解得半径．
（2）由题意可知，OD∥BC，∠AOD=∠B，则两角正切值相等，进而列出关系式．
【解析】
（1）连接OE，OD，
在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形，
tan∠B=tan∠AOD===，解得OD=，
∴圆的半径为；

（2）∵AC=x，BC=8-x，
在直角三角形ABC中，tanB==，
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB===，
解得y=-x2+x．