Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形MNEO的边长为，O为坐标原点，M、E在坐标轴上，把正方形MNEO绕点O顺时针旋转后得到正方形M′N′E′O，N′E′交y轴于点 F，且点F恰为N′E′的中点，则点M′的坐标为    ．

Answer

根据旋转的知识可知：四边形M′N′E′O为正方形，∴OE′=N′E′，∠OE′N′=90°，∠E′OF=∠MOM′，又∵F是N′E′的中点，∴E′F=E′N′=OE′，∴在Rt△E′OF中，tan∠E′OF=；根据三角函数与勾股定理即可求得点M′的坐标．
【解析】
∵四边形M′N′E′O为正方形，
∴OE′=N′E′，∠OE′N′=90°．
又∵F是N′E′的中点，
∴E′F=E′N′=OE′．
∵由旋转性质可知，∠E′OF=∠MOM′，
∴在Rt△E′OF中，tan∠E′OF=；
过点M′作M′G⊥x轴，垂足为点G．
在Rt△M′GO中，tan∠MOM′=．
设M′G=k，则OG=2k，在Rt△M′GO中，OM′=，
根据勾股定理，得M′G2+OG2=OM′2．
即 ，
解得k1=-1（舍），k2=1．
∴M′G=1，OG=2．
又∵点M′在第二象限，
∴点M′的坐标为（-2，1）．
故答案为：（-2，1）．