Question

已知△ABC和△FDE是顶角相等的两个等腰三角形，AB=AC，FD=FE，把点F放到与A点重合，E在线段BC的延长线上．

（1）如图1，若∠BAC=∠DFE=60°，此时∠DCE=______；
（2）如图2，若∠BAC=∠DFE=95°，此时∠DCE=______；
（3）若∠BAC=∠DFE=n°，将△FDE沿线段AC向下滑动，如图3所示，试猜想此时∠DCE的度数，并写出详细求解过程．

Answer

（1）由AB=AC，FD=FE，再加上∠BAC=∠DFE=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABC和三角形FDE都为等边三角形，从而得到∠BAC与∠EAD相等都为60°，两角都加上∠ACE，根据等式的基本性质得到一对角相等，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形ACD全等，根据全等三角形的对应角相等得到∠ACD=∠B=60°，又∠ACB也为60°，根据平角定义即可求出∠DCE为60°；
（2）由∠BAC与∠EAD相等都为95°，两角都加上∠ACE，根据等式的基本性质得到一对角相等，再由AB=AC，FD=FE，利用SAS得到三角形ABE与三角形ACD全等，根据全等三角形的对应角相等得到∠ACD=∠B=∠C=，由平角定义即可求出∠DCE的度数；
（3）过F作FG平行与AB，由两直线平行得到两对同位角相等，先根据等量代换得到∠FGC=∠ACB，利用等角对等边得到FG=FC，再等量代换得到∠CFG=∠DFE，两角都加上∠CFE，根据等式的基本性质得到一对角相等，再由FG=FC，FD=FE，利用SAS得到三角形GFE与三角形CFD全等，根据全等三角形的对应角相等得到∠FGC=∠FDC=，由平角定义即可求出∠DCE的度数．
【解析】
（1）∵AB=AC，FD=FE，∠BAC=∠DFE=60°，
∴△ABC与△FED是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵∠BAC=∠DFE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DFE+∠CAE，
即∠BAE=∠CFD，
在△BAE和△CFD中
，
∴△BAE≌△CFD（SAS），
∴∠ABE=∠FCD=60°，
∴∠DCE=180°-∠ACB-∠FCD=60°；

（2）∵AB=AC，∠BAC=95°，
∴∠ABC=∠ACB=42.5°
又∵∠BAC=∠DFE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DFE+∠CAE，
即∠BAE=∠CFD，
在△BAE和△CFD中
，
∴△BAE≌△CFD（SAS），
∴∠ABE=∠FCD=42.5°，
∴∠DCE=180°-∠ACB-∠FCD=95°；

（3）过F作FG∥AB，
∴∠FGC=∠ABC，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠FGC=∠ACB，∴FG=FC，
又∠BAC=n°，
∴∠ABC=∠ACB=，
又∵FG∥AB，
∴∠CFG=∠CAB，又∠CAB=∠DFE，
∴∠CFG=∠DFE，
∴∠CFG+∠EFC=∠DFE+∠EFC，
即∠GFE=∠CFD，
在△GFE和△CFD中
，
∴△GFE≌△CFD（SAS），
∴∠FGC=∠FCD=，
∴∠DCE=180°-∠ACB-∠FCD
=180°--=n°．