Question

如图，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，点M在线段AB上，且AM=6，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿x轴向点A运动（点P与点O、A 均不重合）．设点P运动t秒时，△APM的面积为S．
（1）求S与t之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）在运动过程中，是否存在S=的情形？若存在，请判断此时△APM的形状，并说明理由；若不存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，当△APM为等腰三角形时，求t的值．

Answer

（1）过M作MD⊥OA于D，先通过一次函数的解析式求得A与B的坐标，得到OA，OB和AB的长；易证得Rt△AMD∽Rt△ABO，通过相似比可求出MD=，AD=，而PA=12-2t，再根据三角形的面积公式得到S与t之间的函数关系式；
（2）由S=和（1）的函数关系得到-+=，解方程得到t的值，得到PA的长，根据三角形相似的判定得到△APM∽△ABO，则∠AMP=∠AOB=90°；
（3）分类讨论：利用等腰三角形的性质得到线段相等，建立关于t的方程．当MP=MA，则AP=2AD，12-2t=×2；当AM=AP，则12-2t=6；当PA=PM，过P作PC⊥MA于C，
易得Rt△APC∽Rt△ABO，则PA：AB=AC：AO，得到PA=，则12-2t=，分别解方程即可．
【解析】
（1）过M作MD⊥OA于D，如图，
令x=0，y=5；令y=0，x=12，
∴OA=12，OB=5，
∴AB=13，
∵MD∥OB，
∴Rt△AMD∽Rt△ABO，
∴MD：OB=AD：AO=AM：AB，
而AM=6，
∴MD=，AD=，
又OP=2t，则PA=12-2t，
∴S=MD•PA=••（12-2t）=-+（0＜t＜6）；

（2）存在S=的情形，此时△APM为直角三角形．理由如下：
∵-+=，
∴t=，
∴PA=12-2t=12-2×=，
∴AP：AB=AM：AO=1：2，
而∠PAM=∠BAO，
∴△APM∽△ABO，
∴∠AMP=∠AOB=90°，
即△APM是以AP为斜边的直角三角形；

（3）当MP=MA，
∴DP=DA，即AP=2AD，
∴12-2t=×2，
∴t=；
当AM=AP，
∴12-2t=6，
∴t=3；
当PA=PM，过P作PC⊥MA于C，如右图，
∴AC=MC=3，
∵Rt△APC∽Rt△ABO，
∴PA：AB=AC：AO，即PA：13=3：12，
∴PA=，
∴12-2t=，
∴t=；
所以△APM为等腰三角形时，t的值为秒或3秒或秒．