Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c经过原点（0，0）和A（1，-3）、B（-1，5）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C．以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且y轴的正半轴交于点为E，连接MD．已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积．（用含m的代数式表示）
（3）延长DM交⊙M于点N，连接ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得S_{四边形EOMD}=S_△DON？请求出此时点P的坐标．

Answer

（1）将O、A、B三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式；
（2）连接EM；由于ED、EO都是⊙M的切线，根据切线长定理可得到ED=EO，根据SSS可证得△EDM≌△EOM，则它们的面积相等，因此四边形EOMD的面积其实是△EOM的面积的2倍，以OM为底，OE为长可求出△EOM的面积，即可得到四边形EOMD的面积表达式；
（3）△DON中，MN=DM，所以△DMO和△OMN等底同高，它们的面积相等；由此可证得△EOM与△OMD的面积相等，由于这两个三角形共用底边OM，则ED∥x轴，根据⊙M的半径即得到直线PD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过O（0，0）、A（1，-3）、B（-1，5）三点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）抛物线y=x2-4x与轴的另一个交点坐标为C（4，0），
连接EM．
∴⊙M的半径是2，即OM=DM=2．
∵ED、EO都是⊙M的切线，
∴EO=ED．
∴△EOM≌△EDM．
∴S四边形EOMD=2S△OME=2×OM•OE=2m；

（3）设点D的坐标为（x，y），
∵S△DON=2S△DOM=2×OM×y=2y，
当S四边形EOMD=S△DON时，即2m=2y，m=y；
∵m=y，ED∥x轴，
又∵ED为切线，
∴D点的坐标为（2，2）；
∵P在直线ED上，故设P点的坐标为（x，2），
∵P在抛物线上，
∴2=x2-4x，
解得x=2±；
∴P（2+，2）或P（2-，2）为所求．