Question

若方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一个相同的根，且a、b、c为一个三角形的边长，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

Answer

求出x2+2ax+b2=0的两个根x1，x2；再求出方程x2+2cx-b2=0的两根x3，x4；分四种情况进行计算即可作出判断：①x1=x3，②x2=x4，③x1=x4，④x2=x3．
【解析】
解方程x2+2ax+b2=0得，
x1==-a+，
x2==-a-，
解方程x2+2cx-b2=0得，
x3==-c+，
x4==-c-，
∴方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根，
∴①x1=x3，-a+=-c+；
移项得，c-a=-，
∵a≠c，
两边平方、并整理得，ac=•，
两边平方得，a2c2=（c2-b2）（a2-b2），
整理得，c2+b2=a2．
根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．
同理，②x2=x4时，得相同结果；
③x1=x4时，解得，等式不成立；
④x2=x3时，解得，等式不成立．
故三角形为直角三角形．
故选C．