Question

如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点O，∠ABD=60°，AB边长为24厘米，cot∠ADB=．质点P以4厘米/秒的速度，从点A出发沿线路A→B→D作匀速运动，质点Q以5厘米/秒的速度，从点D同时出发，沿线路D→C→B→A作匀速运动．
（1）求BD和CD的长，并确定四边形ABCD的形状；
（2）求经过多少秒钟，运动中的质点P、Q构成的线段与四边形ABCD的边平行？（不包括起始位置和两点均终止的情况）
（3）如果已知质点P、Q经过12秒后分别到达M、N两点，然后同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为a厘米/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与△AMN相似，求a的值．

Answer

（1）根据三角函数即可求得∠ADB=90°，则△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可确定四边形ABCD是菱形；
（2）分点Q在CD上，当点Q在CB上时，当点Q在AB上三种情况进行讨论，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可确定；
（3）可以证得：点M与点D重合，点N是AB的中点，则△AMN是直角三角形．△BEF与△AMN相似根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
【解析】
（1）∵cot∠ADB=
∴∠ADB=60°
∵∠ABD=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=AD=BD=24（厘米）
∵BD垂直平分AC，垂足为点O
∴AB=AD=CB=CD=24（厘米），
∴四边形ABCD为菱形．

（2）∵P、Q运动的速度分别为4厘米/秒、5厘米/秒
∴①当点Q在CD上时
∵DQ＞AP
∴PQ不可能与四边形ABCD的边平行
②当点Q在CB上时 质点P运动到点B
∴t==6秒，PQ∥AD
质点P运动到BD上 BQ=48-5t1，BP=4t1-24
∵PQ∥AB
∴BP=BQ，48-5t1=4t1-24，
∴t1=8秒
③当点Q在AB上时BQ=5t2-48，BP=4t2-24 质点P运动到BD上
∵PQ∥AD
∴BP=BQ，4t2-24=5t2-48，
∴t2=24秒 （4t2=96＞AB+BD 不成立） 
∴当时间为6秒和8秒时，线段PQ与四边形ABCD的边平行．

（3）质点P、Q经过12秒后分别到达M、N两点，其路程为4×12=48（厘米），5×12=60（厘米）
∵AB+BD=48（厘米），
∴点M与点D重合
∵CD+CB+AB=60（厘米）
∴点N是AB的中点．
∵△ABD是等边三角形
∴△AMN是直角三角形
又∵点P从M点返回3秒走过的路程4×3=12（厘米）
∴点E与点O重合点Q，从N点返回3秒走过的路程为3a，
若△BEF与△AMN相似，则
①点Q在BN中点F1处3a1=6，a1=2；
②点Q在BC四分之一点F2处（如图） 3a2=18，a2=6； 
③点Q在点C处3a3=12+24，a3=12．
∴当a为2、6和12时，△BEF与△AMN相似．