Question

如图，已知点P是抛物线y=上的任意一点，记点P到X轴距离为d₁，点P与点F（0，2）的距离为d₂
（1）证明d₁=d₂；
（2）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点），试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）根据解析式用1个未知数t表示出P的坐标，进而表示出P到x轴与到点F的距离，化简可出两者大小相等；
（2）由（1）的结论，找PQ的中点到x轴的距离与PQ的大小关系，容易证得两者相等；故以PQ为直径的圆与x轴相切．
【解析】
（1）设P为抛物线上一点，
故P的坐标为（t，t2+1）；
则P到X轴距离d1=t2+1，
P到点F（0，2）的距离为d2为；
化简可得d1=d2．

（2）相切：
设Q到x轴的距离为m，到F的距离为n，
根据（1）的结论，有m=n，
过PQ的中点作x的垂线，设其长度为h，
易得h=（m+d1），
同时有PQ=（n+d2）=（m+d1），
为h的2倍，
故以PQ为直径的圆与x轴相切．