Question

如图，在四边形ABCD中，给出下列三个论断：
①对角线AC平分∠BAD，②CD=BC，③∠D+∠B=180°．
（1）在上述三个论断中，以其中两个论断作为条件，另外一个论断作结论，问可以写出几个正确的命题？
（2）选择（1）中一个正确的命题加以证明．

Answer

（1）过点C作CE⊥AB，CF⊥AD，垂足为E、F，①②作为条件，可以证明△CBE与△CDF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠CDF，再根据平角定义得到∠B+∠D=180°，所以③作为结论是正确的命题；①③作为条件，与前一种情况的思路相反，可以根据条件证明△CBE与△CDF全等，再根据全等三角形对应边相等得到CD=BC，所以②作为结论是正确的命题；②③作为条件，先证明∠B=∠CDF，再根据“角角边”证明△CBE与△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AC平分∠BAD，所以①作为结论是正确命题；
（2）选择第一种情况根据（1）中的思路进行证明即可．
【解析】
（1）共有：①②作为条件，③作为结论，
①③作为条件，②作为结论，
②③作为条件，①作为结论，3种情况，都是真命题，
故可以写出3个正确的命题；

（2）①②作为条件，③作为结论时，
即已知：如图，对角线AC平分∠BAD，CD=BC，
求证：∠D+∠B=180°，
证明：过点C作CE⊥AB，CF⊥AD，垂足为E、F，
∴∠CEB=∠F=90°，
∵AC平分∠BAC，
∴CE=CF，
在Rt△CBE与Rt△CDF中，，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°，
即∠D+∠B=180°．