Question

AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC²+ED²=2．

Answer

首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．
证明：作CD关于AB的对称直线FG，
∵∠AEC=45°，
∴∠AEF=45°，
∴CD⊥FG，
∴CG2=CE2+EG2，
即CG2=CE2+ED2，
∵△OCD≌△OGF（SSS），
∴∠OCD=∠OGF．
∴O，C，G，E四点共圆．
∴∠COG=∠CEG=90°．
∴CG2=OC2+OG2=2．
∴EC2+ED2=2．