如图：菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA...

如图：菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点．已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40．若既约分数 manfen5.com 满分网

为矩形ABCD的周长，求m+n．

由菱形性质知PR⊥SQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心．由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25．由对称性知CQ、CR的长为x、y．则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt△的面积之和．设AS=x、AP=y，即可列出关于x、y的关系式，解得x、y即可计算m+n的值．【解析】设AS=x、AP=y，由菱形性质知PR⊥SQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心．由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25．由对称性知CQ、CR的长为x、y．则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt△的面积之和．则有：（20+x）（15+y）=6××20×15+2×xy 则有3x+4y=120 ① 又x2+y2=625 ② 得x1=20x2= y1=15y2= 当x=20时BC=x+BQ=40这与PR=30不合故x=y= ∴矩形周长为2（15+20+x+y）= 即：m+n=677

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考点分析：

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