Question

如图，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆O，O在BC上，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，EF交AB于点G，交AC于点H，IM⊥BC于M．则下列结论：①EF⊥AD；②AB+AC-BC=AI；
③AD=（IM+BC）；④S_△BIC：S_△EFI的值随A点位置变化而变化．其中正确的是（ ）

A．①②④
B．①②
C．①②③
D．③④

Answer

根据内心的定义得到∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，求出∠EAD+∠AEF=90°即可判断①；求出三角形内切圆的半径是（AC+AB-BC），根据勾股定理求出AI=IH即可判断②；求出AD=AI+ID=（AC+AB），求出（IM+BC）=（AC+AB），即可判断③；根据相似三角形的性质即可判断④．
【解析】
∵I为△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，
∴弧AE+弧AF+弧CD=180°，
∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°，∴①正确；
∵O在BC上，
∴∠BAC=90°，
∵I是△ABC的内心，
∴CM=BM，CQ=CM，BM=BH，
∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°，IQ=IH，
∴四边形QIHA是正方形，
∴IQ=AQ=AI=IH，
∴AC-IH+AB-IH=BC，
∴IH=（AC+AB-BC），
由勾股定理得：AI=IH，
∴②正确；
AD=AI+ID=（AC+AB-BC）+BC，
=AC+AB，
（IM+BC）=[（AC+AB-BC）+BC]=AC+AB，
∴③正确；
∵∠F=∠EBC，∠FEI=∠ICM，
∴△EFI∽△CBI，
∴=，
∵BC一定，
∴④错误；
故选C．