Question

已知：△ABC，∠C=90°∠BAC=ɑ，AD为中线，BE为∠ABC的平分线，交AD于F．
（1）若sinɑ=，则=______，=______；
（2）若sinɑ=，求证：2AF=5DF；
（3）写出与ɑ的函数关系式．

Answer

（1）过C作CG∥AB，根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等可以证明∠G=∠CBG，所以BC=CG，再根据平行线可以得到△CEG与△AEB相似，根据相似三角形对应边成比例，==sinɑ；过D作DH∥AC，根据AD是中线可得DH是△BCE的中位线，DH=CE，再根据平行线得到△AEF与△DHF相似，根据相似三角形对应边成比例列式并代入整理即得AF：DF=2÷sinɑ，然后计算即可；
（2）与（1）的第二问的思路相同，只是把sinɑ的值换成，然后进行计算即可；
（3）与（1）的第二问的思路相同写出即可．
（1）【解析】
①如图，过C作CG∥AB，
∴∠G=∠ABG，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∴∠G=∠CBG，
∴BC=CG，
∵CG∥AB，
∴△CEG∽△AEB，
∴=，
∴=，
∵△ABC，∠C=90°，∠BAC=ɑ，
∴sinɑ==，
即=；

②过D作DH∥AC，
∵AD为中线，
∴DH是△BCE的中位线，
∴DH=CE，
又根据DH∥AC可得△AEF∽△DHF，
∴=，
∴==2×===4；
故答案为：，4；

（2）证明：如图，过D作DH∥AC，同（1）可证
==2×，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴==，
∴=2×，
∵sinɑ=，
∴=2×=，
即2AF=5DF；

（3）与（1）的第二问同理：=．