Question

抛物线y=ax²-4ax+b经过A（1，0），F（4，-3），与y轴交于点C，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，连接PC，将线段PC绕着P点逆时针旋转90°至线段PC₁，使得C₁落在抛物线上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D是抛物线在x轴上方部分的一点，过D作DE∥AC与y轴交于E，且四边形ACED是等腰梯形，求出D的坐标．

Answer

（1）将A、F两点坐标代入抛物线解析式可求a、b的值，确定抛物线解析式；
（2）由（1）可知，抛物线对称轴为x=2，设P（2，t）利用垂直关系构造两个三角形全等，可得C1（t+5，t-2），将C1点坐标代入抛物线解析式求t即可；
（3）延长DA交y轴于点M，由等腰梯形构造等腰三角形，可得MA=MC，在Rt△AOM中，由勾股定理求OM，根据A、M两点坐标求直线AD解析式，与抛物线解析式联立，求D点坐标．
【解析】
（1）把A（1，0），F（4，-3）代入y=ax2-4ax+b中，
得，
解得，
∴y=-x2+4x-3；

（2）如图1，设P（2，t），
分别过C、C′作对称轴的垂线，垂足为G、H，
∵PC=PC′，∠CPC′=90°，由互余关系可证△PCG≌△C′PH，
∴PH=CG=2，HC′=PG=t+3，
则C1（t+5，t-2），代入y=-x2+4x-3中，得
t-2=-（t+5）2+4（t+5）-3，
解得t=-1或t=-6（不合题意，舍掉），
∴P（2，-1）；

（3）如图2，延长DA交y轴于点M，依题意，
∠CED=∠ADE，MD=ME，则MA=MC，
在Rt△AOM中，OM2+OA2=AM2，即OM2+12=（3-OM）2，
解得OM=，
∴直线DA的解析式是y=x-，
联立，
解得或，
∴D（，）