Question

阅读下面材料，再回答问题．
一般地，如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（-x）=f（x）．那么y=f（x）就叫偶函数．如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（-x）=-f（x）．那么y=f（x）就叫奇函数．
例如：f（x）=x⁴
当x取任意实数时，f（-x）=（-x）⁴=x⁴∴f（-x）=f（x）∴f（x）=x⁴是偶函数．
又如：f（x）=2x³-x．
当x取任意实数时，∵f（-x）=2（-x）³-（-x）=-2x³+x=-（2x³-x）∴f（-x）=-f（x）∴f（x）=2x³-x是奇函数．
问题1：下列函数中：①y=x²+1②③④⑤y=x^-2-2|x|
是奇函数的有______；是偶函数的有______（填序号）
问题2：仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数（选择其中之一）     （4分）

Answer

（1）根据题目信息，求出f（-x）的值，如果f（-x）=f（x），则是偶函数，如果f（-x）=-f（x），则是奇函数；
（2）同（1）的思路进行计算即可证明．
【解析】
问题1：①y=（-x）2+1=x2+1，
∴①是偶函数；
②y==-，
∴②是奇函数；
③y=≠≠-，
∴③既不是奇函数，也不是偶函数；
④y=-x+=-（x+），
∴④是奇函数；
⑤y=（-x）-2-2|-x|=x-2-2|x|，
∴⑤是偶函数，
故答案为：奇函数有②④；偶函数有①⑤；…（4分）

问题2：证明：④∵当x≠0时，
f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），
∴y=x+是奇函数，
⑤∵f（-x）=（-x）-2-2|-x|=x-2-2|x|=f（x），
∴y=x-2-2|x|是偶函数．