Question

春天，万物复苏，同时也是流感病毒高发季节，某医药器械厂接受了生产一批医用口罩的任务，要求在8天之内（包括8天）生产A型和B型两种口罩共5万只，其中A型口罩不得少于1.8万只．该厂每天可生产A型口罩0.6万只，每只口罩获利0.5元；或者该厂每天可生产B型口罩0.8万只，每只口罩获利0.3元，设该厂这次生产了A型口罩x万只，获得的总利润为y元．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）在完成任务的前提下，如何安排生产使获得的总利润最大？最大利润是多少？
（3）若要在最短的时间内完成任务，如何安排生产A型和B型口罩的数量？最短时间多少天？

Answer

（1）根据等量关系“总利润=A型口罩利润+B型口罩利润”列出y关于x的函数关系式；
（2）由条件“8天之内完成”“A型口罩不能少于1.8万只”确定所获利润的最大值．
（3）因为生产A型耗时长，若要在最短的时间完成任务应尽量多生产B型，但要保证A型不少于1.8万只．
【解析】
（1）设该厂在这次任务中生产A型口罩x万只，则生产B型口罩（5-x）万只；
由题意得：y=0.5x+0.3×（5-x）=0.2x+1.5
（2）由限制条件得：，
解得：1.8≤x≤4.2，
由（1）得y=0.2x+1.5为增函数，
∴当x=4.2时，y最大总利润=0.2×4.2+1.5=2.34万元．
此时生产A型4.2万只，生产B型0.8万只．
（3）如果要在最短时间内完成任务，全部生产B型所用时间最短，
但题意要生产A型不少于1.8万只，
因此，除了生产A型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产B型，
所需最短时间为1.8÷0.6+3.2÷0.8=7（天）．