Question

如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD=6，∠D=60°，E、F分别为BC、CD上两动点（不与端点重合），且∠AEF=120°，设BE=x，CF=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）x取何值，y有最大值，最大值多少？

Answer

（1）由BE=x，BC=6，根据EC=BC-BE表示出EC，然后由BC与AD平行，可得∠C与∠D互补，由∠D的度数求出∠C的度数，在三角形ECF中利用三角形的内角和定理求出其余两角之和，又根据∠AEF的度数，利用平角定义求出剩下两角之和，发现求出的两个和相等，利用等量代换可得∠CFE=∠AEB，再根据梯形ABCD为等腰梯形可得∠C与∠B相等，从而利用两对对应角相等的两三角形相似可得三角形ABE与三角形CEF相似，由相似得比例，把AB，BE，EC及CF的长代入即可列出y与x的函数关系式；
（2）由E、F分别为BC、CD上两动点（不与端点重合），且BE=x，求出x的范围，再把第一问中求出的函数关系式配方，根据其中的二次项系数a小于0得到函数图象为开口向下的抛物线，故根据完全平方式最小值为0可得y的最大值，并求出此时x的值．
【解析】
（1）∵AB=BC=CD=6，BE=x，CF=y，
∴EC=6-x，
∵BC∥AD（已知），
∴∠C+∠D=180°（两直线平行同旁内角互补），
又∠D=60°（已知），
∴∠C=120°（等量代换），
∴∠CEF+∠CFE=60°（三角形的内角和定理），
又∠AEF=120°（已知），
∴∠CEF+∠AEB=60°（平角定义），
∴∠CFE=∠AEB（等量代换），
又梯形ABCD中，BC∥AD，AB=CD（已知），
∴∠B=∠C（等腰梯形同一底上的两个角相等），
∴△ABE∽△ECF（两对对应角相等的两三角形相似），
∴（相似三角形的对应边成比例），
即，
则y=-x2+x；

（2）由0＜x＜6，
函数y=-x2+x=-（x-3）2+为开口向下的抛物线，
当x=3时，y有最大值，y的最大值为．