Question

如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，∠ABC=60°，AB=1，E、F分别是线段BO、DO上不与点O重合的点，且BE=DF．
（1）探究：当BC的长为多少时，四边形AECF是菱形？并说明理由．
（2）当四边形AECF是正方形时，求DF的长．

Answer

（1）根据平行四边形性质求出OE=OF，得到平行四边形AECF，根据菱形的性质推出AC⊥BD即可；
（2）根据含30度角的之间三角形性质和勾股定理求出OE、OF，OA、OC，BD，即可求出答案．
【解析】
（1）当BC=1时，四边形AECF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
当BC=AB=1时，平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形．

（2）由于正方形是特殊的菱形，由（1）知，此时四边形ABCD和AECF均为菱形．
∵∠ABC=60°，AB=1，AC⊥BD，
∴△ADC和△ABC均为等边三角形，且AO=CO=，BO=DO=，
当四边形AECF是正方形时，EO=FO=AO=CO=，
∴DF=DO-FO=-=，
答：DF长是．