Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0）和C（0，4）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）直线y=x+1与抛物线相交于A、D两点，点p是抛物线上一个动点，点P的横坐标是m，且-1＜m＜3，设△ADP的面积为S，求S的最大值及对应的m值；
（3）点M是直线AD上一动点，直接写出使△ACM为等腰三角形的点M的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法将A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x2+bx+c，求出即可；
（2）首先求出两函数的交点坐标，再利用函数图象上点的性质得出PQ=（-m2+3m+4）-（m+1）=-m2+2m+3，进而求出
S△ADP=S△APQ+S△DPQ=-2m2+4m+6，再利用二次函数最值求法得出即可；
（3）根据平面内两点之间的距离公式以及点M在函数图象上的性质分别分析得出即可．
【解析】
（1）A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x2+bx+c，
得，
解得，
∴此抛物线解析式为：y=-x2+3x+4．

（2）由题意得：，
解得：，，
∴点D的坐标为（3，4），
过点P作PQ∥y轴，交直线AD与点Q，
∵点P的横坐标是m，
又点P在抛物线y=-x2+3x+4
∴P的纵坐标是-m2+3m+4，点Q的横坐标也是m，
∵点Q在直线y=x+1上，
∴Q的纵坐标是m+1，
∴PQ=（-m2+3m+4）-（m+1）=-m2+2m+3，
S△ADP=S△APQ+S△DPQ，
=，
=，
=-2m2+4m+6，
=-2（m-1）2+8，
当m=1，△ADP的面积S的最大值为8．

（3）．