Question

如图，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4．请探究：
（1）如图＜1＞，若以AP为直径作⊙O，分别交AM、AN于B、C，求AB+AC的长；
（2）如图＜2＞，若以AP为弦（不是直径），任作⊙O₁分别交AM、AN于B₁、C₁点，则AB₁+AC₁的长是否不变？请说明理由；
（3）如图＜3＞，若以AP为弦（不是直径）作⊙O₂与AM切于A点，交AN于C₂点，则AC₂的长是多少？请说明理由．

Answer

（1）根据∠MAN=60°，AP平分∠MAN，即可得出∠BAP=30°，再利用AB=AC=APcos30°求出即可；
（2）首先利用HL定理证明Rt△PBB1≌Rt△PCC1，即可得出B1B=C1C，进而得出AB1+AC1=AB-B1B+AC+C1C=AB+AC=4，
（3）先得出△APC2为等腰三角形，即可求出∠ACP=90°，即PC⊥AC2，进而得到AC=CC2=2，即可得出答案．
【解析】
（1）连接PB、PC．
∵AP为ΘO的直径，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∵AP平分∠MAN，
∴∠BAP=30°，
∴AB=AC=APcos30°=4×，
∴AB+AC=4；

（2）AB1+AC1的长度不变．
理由：连接PB1、PB，PC，PC1，
在△PBB1和△PCC1中，
∵∠B1AP=∠C1AP=30°，
∴，
∴PB1=PC1，
∵∠ABP=∠C1CP=90°，
∴PB=PC，
∴Rt△PBB1≌Rt△PCC1，
∴B1B=C1C，
∴AB1+AC1=AB-B1B+AC+C1C=AB+AC=4，

（3）连接AO2并延长交ΘO2于D，连接PD、PC2，
∴∠APD=90°则∠D+∠PAD=90°，
∵ΘO2与AM切于A点，
∴∠PAD+∠BAP=90°，
∵∠D=∠BAP=∠CAP=30°，
∵∠D=∠AC2P，
∴∠AC2P=∠CAP，
∴△APC2为等腰三角形，
∵∠ACP=90°，即PC⊥AC2，
∴AC=CC2=2，
∴AC2=AC+CC2=4．