Question

在平面直角坐标系中，在经过点A（1，0），B（5，0）两点所有的圆中，⊙P是面积最小的圆，经过A、B两点的抛物线y=ax²+bx+c开口方向向下，且顶点在⊙P上，求抛物线的解析式．

Answer

根据⊙P是面积最小的圆，即可得出当圆的半径为2时，圆最小，再得出二次函数顶点坐标与图象与x轴交点坐标，再利用顶点式求出即可．
【解析】
∵在经过点A（1，0），B（5，0）两点所有的圆中，⊙P是面积最小的圆，
∴圆的直径为：5-1=4，
∴圆的半径为：2，
∵经过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c开口方向向下，且顶点在⊙P上，
∴二次函数与x轴的交点坐标为：（1，0），（5，0），对称轴是：x=3，顶点坐标为：（3，2），
∴抛物线的解析式为：y=a（x-3）2+2，将（1，0）代入求出即可，
∴0=a（1-3）2+2，
∴a=-，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-3）2+2．