Question

如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S₁，S₂，S₃…．则
（1）S₁=______

Answer

（1）分析知奇数的通式为：2n-1（n为正整数），设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则可以表达出Sn的表达式，将每个梯形的上底和下底距点O的长代入，求解即可；
（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数．
【解析】
（1）设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，
则上底长为btan∠AOB，下底长为atan∠AOB，
∴Sn=b×btan∠AOB-a×atan∠AOB=（b2-a2），
又∵梯形1距离点O的距离a=1，b=3，
∴S1=（32-12）=；

（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，
2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，
下底为第2008×2+2个奇数，
∴第2009个梯形的两边长分别为：
a=2×（2008×2+1）-1=8033，
b=2×（2008×2+1）+1=8035，
故S2009=（80352-80332）=5356．
故答案为，5356．