Question

已知二次函数y₁=x²-2x-3及一次函数y₂=x+m．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y₂=x+m有三个不同公共点时m的值；
（3）当0≤x≤2时，函数y=y₁+y₂+（m-2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．

Answer

（1）将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，y=0，可求出它函数图象与x轴的交点坐标．
（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①直线经过原二次函数与x轴的交点A（即左边的交点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；
②原二次函数图象x轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式△=0，根据这一条件可确定m的取值．
（3）根据题意可得到新函数y的函数解析式；当0≤x≤2时，函数与x轴有两个不同的交点则有：
①根的判别式△＞0；
②由于抛物线开口向上，所以当x=0和x=2时，y值应具备：y≥0；
（可结合图象进行判断，当x取0、2时，函数图象均在x轴或x轴上方．）
③抛物线的对称轴在0～2的范围内，不包括0和2；
（若取0或2，那么在0≤x≤2的区间内，函数与x轴不会有两个不同的交点．）
根据上述三个条件即可确定m的取值范围．
【解析】
（1）∵y1=x2-2x-3=（x-1）2-4（1分）
则抛物线的顶点坐标为（1，-4）（2分）
∵y1=x2-2x-3的图象与x轴相交，
∴x2-2x-3=0，（3分）
∴（x-3）（x+1）=0，
∴x=-1，或x=3，
∴抛物线与x轴相交于A（-1，0）、B（3，0），（4分）

（2）翻折后所得新图象如图所示，（5分）
平移直线y2=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示，
①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1；（6分）
②当直线位于l2时，
此时l2与函数y=-x2+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点，
∴方程x+m=-x2+2x+3，
即x2-x-3+m=0有一个根，（7分）
故△=1-4（m-3）=0，
即m=；（8分）

（3）∵y=y1+y2+（m-2）x+3
=x2+（m-3）x+m，
∵当0≤x≤2时，函数y=x2+（m-3）x+m的图象与x轴有两个不同的交点，
∴m应同时满足下列三个方面的条件：
方程x2+（m-3）x+m=0的判别式△=（m-3）2-4m=（m-1）（m-9）＞0，（9分）
抛物线y=x2+（m-3）x+m的对称轴满足0＜＜2，（10分）
当x=0时，函数值y=m≥0，
当x=2时，函数值y=3m-2≥0，（11分）
即，
解得；
∴当时，函数图象y=y1+y2+（m-2）x+3（0≤x≤2）与x轴有两个不同交点．（12分）