Question

如图，直线AC与双曲线在第二象限交于点A（x，y），交x轴的正半轴于点C，且|AO|=4，点A的横坐标为-2，过点A作AB⊥x轴于点B，且S_△AOC：S_△AOB=3：2．
（1）求k的值及直线AC的解析式；
（2）在第二象限内双曲线上有一动点P（r，m），设△BCP的面积为S．求S与r的函数关系式．

Answer

（1）∵|AO|=4，点A的横坐标为-2，即OB=2，得到∠BAO=30°，则AB=OB=2，确定A点坐标为（-2，2），于是可求得k=-2×2=-4；再根据S△AOC：S△AOB=3：2，得到OC：OB=3：2，而OB=2，求出OC=3，得到C点坐标为（3，0），然后利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）点P（r，m）在反比例函数图象上得到m=-，r＜0，m＞0，再根据三角形的面积公式得S=•BC•m=•5•（-），整理即可．
【解析】
（1）∵|AO|=4，点A的横坐标为-2，即OB=2，
∴∠BAO=30°，
∴AB=OB=2，
∴A点坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∵S△AOC：S△AOB=3：2，
∴OC：OB=3：2，而OB=2，
∴OC=3，
∴C点坐标为（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-2，2），C（3，0）代入得，-2k+b=2，3k+b=0，解得k=-，b=，
∴直线AC的解析式为：y=-x+；

（2）双曲的解析式为y=-，
∵点P（r，m）在反比例函数图象上，
∴m=-，r＜0，m＞0，
∴S=•BC•m
=•5•（-）
=-．
∴S与r的函数关系式为S=-（r＜0）．